Buena pregunta. El artículo de Max Tegmark, “On the dimensionality of spacetime,” Class. Quantum Grav. 14: L69–L75, 1997 [gratis en el MIT y en ArXiv], estudia esta cuestión en el contexto de la clasificación de ecuaciones en derivadas parciales en elípticas, hiperbólicas y ultrahiperbólicas. Su respuesta: la propagación de ondas solo puede estar descrita por ecuaciones covariantes hiperbólicas (las elípticas no lo permiten y las ultrahiperbólicas están mal puestas). Además, si requerimos que el espaciotiempo tenga una complejidad mínima para permitir la existencia de seres conscientes, tenga un futuro que sea predecible y permita la existencia de movimientos orbitales estables, necesariamente debe tener tres dimensiones espaciales y una temporal, espaciotiempo 3+1. Obviamente, este artículo ha sido objeto de comentarios en blogs por doquier. Pondré un solo ejemplo, Bee, “Why do we live in 3+1 dimensions?,” Backreaction, May 8, 2006. Bee nos enlaza a otros blogs y a otros artículos sobre el mismo tema, como Andreas Karch, Lisa Randall, “Relaxing to Three Dimensions,” Phys. Rev. Lett. 95: 161601, 2005 [ArXiv preprint].

Antes de continuar y para entender la figura debemos recordar que una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, como la que corona la figura, donde la matriz A es simétrica, sin pérdida de generalidad, se puede clasificar en función del signo de sus autovalores (todos son reales por ser simétrica) como elíptica si todos tienen el mismo signo (todos positivos o todos negativos), parabólica si alguno es cero y el resto tienen el mismo signo (sea positivo o negativo), hiperbólica si uno es positivo y el resto son negativos (o viceversa), y finalmente ultrahiperbólica en el resto de los casos (al menos dos son positivos y al menos dos son negativos).

Vivimos en un espaciotiempo con (3+1) dimensiones, es decir, tridimensional en espacio y unidimensional en tiempo. ¿Qué pasaría si viviéramos en un espaciotiempo con (n+m) dimensiones? Recuerda, n son las dimensiones espaciales y m las temporales. ¿Puede un espacio tiempo (n+m) dimensional contener observadores conscientes como nosotros? Max Tegmark afirma que sólo es posible en un espaciotiempo con cierta complejidad, predictibilidad y estabilidad. La física es impredecible si m·n=0, es decir, si las ecuaciones en derivadas parciales que describen el universo son elípticas, como la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson. En ese caso el universo es inmutable y no hay futuro posible que predecir. Para n=1 o m=1, la ecuación es hiperbólica.  Para n=1 y m>3, o n>3 y m=1, fallaría la estabilidad, como ya observó Enhrenfest en 1917: el problema de dos cuerpos (puntuales) en un potencial que sea solución la ecuación de Laplace (como lo es para el potencial electrostático y el gravitatorio) es inestable porque dicha ecuación en dimensión n tiene una función de Green que decae como r^2-n. Ni los átomos (mecánica cuántica) ni las órbitas planetarias (mecánica clásica) podrían ser estables. ¿Qué pasaría en el caso n<3? Básicamente falla el requisito de la complejidad mínima. Seres “conscientes” en planilandia (2D) sufrirían terribles problemas topológicos, por ejemplo, a la hora de conectar su cerebro con el resto del cuerpo vía terminaciones nerviosas. Más aún, como ya aclaró Wheeler, la fuerza gravitatoria en relatividad general no puede existir para n < 3. Tegmark tiene muy claro que un mundo con n=2, 1 y 0 no puede permitir seres conscientes como nosotros. El caso n,m≥2, es decir, si son ultrahiperbólicas, lo estudiaremos en el próximo párrafo.

Veamos en más detalle el caso ultrahiperbólico en el que el número de dimensiones temporales, m>1. Para Tegmark, un universo con m>1, con dos o más tiempos, no prohibe que los observadores estén limitados a percibir la realidad sólo con un único tiempo, por lo que no genera necesariamente problemas de causalidad (la nieta que mata a su abuela antes de parir a su madre). Sería un mundo muy extraño, por ejemplo, en mecánica relativista la energía sería un vector de m dimensiones, en lugar de una constante, pero estas ideas difícilmente rebaten la posible existencia de seres conscientes. Para Tegmark la clave está en la ultrahiperbolicidad de las ecuaciones covariantes que describan los campos físicos en dicho universo.

La realidad que conocemos está modelada por campos descritos mediante ecuaciones covariantes como la ecuación de onda  y la ecuación de Klein-Gordon . Por ejemplo, los fermiones (electrones, positrones, quarks, …) están descritos por la ecuación de Dirac cuyas soluciones también cumplen la ecuación de Klein-Gordon. Otro ejemplo, los bosones vectoriales (fotón, gluones, bosones W y Z, …) en el gauge de Lorentz cumplen la ecuación de onda (la luz se propaga como una onda). Estas dos ecuaciones covariantes cumplen con la propiedad de que el signo de los autovalores de la matriz A tienen el mismo signo que la signatura de la métrica del espaciotiempo. En 3+1 dimensiones, con (n,m)=(3,1), tienen la signatura (+–––), o si se prefiere (–+++). Una ecuación elíptica correspondería a una signatura euclídea para la métrica (+++++) y una ultrahiperbólica a una signatura como (++––-). El tipo de la ecuación en derivadas parciales determina la estructura causal de las soluciones posibles (cómo las condiciones de contorno especifican el problema). Un problema está bien puesto si las condiciones de contorno determinan una solución única que depende de forma continua con los datos del contorno. En un problema mal puesto, un observador tendría que medir los datos iniciales y de contorno con precisión infinita para poder determinar (predecir) la solución. Dado un punto p del espaciotiempo podemos definir su cono de luz como la hipersuperficie que recorrería un haz de luz que partiera de p (hipersuperficie nula). El interior del cono de luz son los puntos del espaciotiempo separados de p por intervalos temporales y el exterior los separados espacialmente. En una ecuación ultrahiperbólica si la condición inicial está dada en una hipersuperfice que contiene intervalos espaciales y temporales respecto a un punto p, el problema de Cauchy está mal puesto.